Page 182 - 4371

x 2 y 2 z 2
ється рівнянням  , yxF , z  0 , де  , yxF ,z     1.
a 2 b 2 c 2
2x 2y 2z



Оскільки F  , F  , F  , то рівняння дотич-
x 2 y 2 z 2
a b c
ної площини запишеться у виді:
2x 2y 2z
0   xx  0   yy  0   zz  0 ,
a 2 0 b 2 0 c 2 0
x x y y z z
або 0  0  0  1. Ця площина перетинає координа-
a 2 b 2 c 2
 a 2   b 2   c 2 
тні осі в точках  , , 0 0 ,  ,0 , 0 ,  ,0 , 0  . Вва-






 x 0   y 0   z 0 
жаючи, що точка дотику лежить в першому октанті, знахо-
димо об’єм піраміди, яка відтинається дотичною площи-
ною від координатного кута:
1 a 2 b 2 c 2 1 a 2 b 2 c 2
2
V  , тоді V  a 2 b 2 c 2 .
6 x y z 36 x 2 y 2 z 2
0 0 0 0 0 0
В силу нерівності Коші
3
x 2 y 2 z 2  1  x 2 y 2 z 2   1
0 0 0    0  0  0    .
3 a
a 2 b 2 c 2   2 b 2 c 2     27
 
Тоді
1 3
2
2
2
V  a 2 b 2 c  27  a 2 b 2 c ,
36 4
x y z
причому рівність досягається, якщо 0  0  0 , тобто
a b c
a b c 3
коли x  , y  , z  . Отже V  abc .
0 0 0 min
3 3 3 2
5.57 Введемо прямокутну декартову систему координат,
в якій еліпсоїд матиме канонічне рівняння
x 2 y 2 z 2
   1,
a 2 b 2 c 2
182