Page 177 - 4371

3     2   2    
 a 2  3 cos  2    cos  2    cos 2    

2    3   3     

3    2    2    
 b 2  3 cos  2    cos  2   cos 2    .

 
2    3   3   

Але
 2   2  2
cos 2    cos 2    cos 2  cos2 2 cos 
 3   3  3
 1 
 cos 2  2 cos 2    cos 2   cos 2  cos 2  0 ,
 2 
тому
3 3 9
2
2
2
2
2
2
AB  AC  BC  3 a  3 b  a  b 2  const ,
2 2 2
що і треба було довести.
5.49 Введемо на площині прямокутну декартову систе-
му координат, в якій рівняння параболи набуде виду
2
y  ax . Нехай коло з центром в точці  , yx  радіуса R
0 0
перетинає параболу в чотирьох точках. Рівняння цього ко-
ла можна записати у виді x 2  2 xx  y 2  2y y  m  0, де
0 0
2
2
2
m  x  y  R . Для знаходження точок перетину кола з
0 0
параболою потрібно розв’язати систему:
x 2  2 xx 0  y 2  2y 0 y  m  ,0


  axy 2 .

Виключаючи із цієї системи y , приходимо до рівняння:
a 2 x 4  1 2ay x 2  2 xx  m  0 .
0 0
За умовою це рівняння має чотири різних корені
x , x , x , x , причому за теоремою Вієта
1 2 3 4
x  x  x  x  0 .
1 2 3 4
Нехай тепер  , yxA   ,, B x y , M  , yx , N  , yx  – то-
1 1 2 2 3 3 4 4
чки перетину кола з параболою. Знайдемо кутовий коефі-
цієнт k прямої, що проходить через точки M і N :
177