Page 178 - 4371

2
y  y a x  x 2 
k  4 3  4 3  a x  x 3 . Але x  x   x  x 2 ,
4
4
1
3
x  x x  x
4 3 4 3
отже k   a x  x  і ніяк не залежить від радіуса кола і від
1 2
координат його центра. Звідси очевидним чином випливає
твердження задачі.
5.50 Очевидно
1 1
OA 2  OB 2  OC 2  OD 2  OA 2  OB 2   OB 2  OC 2 
2 2
1 1
 OC 2  OD 2  OD 2  OA 2 
2 2
 OA OB  OB OC  OC OD  OD OA 
 2 S  2 S  2 S  2 S  2 S ,
AOB BOC COD DOA
причому рівності досягаються тільки при
OA  OB  OC  OD і AOB   BOC   COD   DOA,
що означає, що діагоналі AC і BD чотирикутника ABCD
рівні, перпендикулярні і діляться в точці їх перетину O
навпіл, тобто ABCD – квадрат з центром O.
5.51 Нехай ABCD – трикутна піраміда, M , M , M ,
1 2 3
M , M , M – середини ребер AB, AC, AD, BC, BD, CD
4 5 6
відповідно. Якщо об’єм піраміди ABCD дорівнює V , то
об’єм кожної з пірамід AM M M , BM M M ,
1 2 3 1 4 5
1
CM M M , DM M M в силу подібності дорівнює V .
2 4 6 3 5 6
8
Тому об’єм многогранника M M M M M M дорівнює
1 2 3 4 5 6
1 1
V  4 V  V , отже, відношення об’ємів многогранника
8 2
1
і піраміди дорівнює .
2
5.52 Введемо прямокутну декартову систему координат
так, щоб одна з мимобіжних прямих сумістилася з віссю
l
Ox , а інша – із прямою z  , розташованою в площині
178