Page 16 - 4371

3.15 Знайти всі многочлени  xP , які задовольняють
тотожність xxP  1  x 2   xP .
3.16 Знайти всі многочлени  xP , які задовольняють
тотожність  x 1   xP 1    x 2    0xP .

3.17 Знайти всі многочлени  xP , для яких виконується
тотожність  x 2012     xPxP  x  1 .
3.18 Знайти всі ненульові многочлени  xP , які задо-
2
вольняють тотожність    xPxP 2    .
3.19 Знайти всі ненульові многочлени  xP , які задо-
2

вольняють тотожність xP 2  2x  P  x 2  .
3.20 Нехай два многочлени  xP і  xQ з дійсними кое-
фіцієнтами приймають цілочисельні значення в одних і тих
же точках. Довести, що або   QxP   x , або   QxP   x є
константа.
3.21 Нехай многочлен  xP степеня n з дійсними кое-
n
фіцієнтами при всіх дійсних значеннях x набуває лише
додатних значень. Довести, що многочлен P  x можна
n
подати у вигляді суми квадратів двох многочленів з дійс-
ними коефіцієнтами.
3.22 Многочлен P    xx n  xa n 1    a x  1 з
1 n  1
невід’ємними коефіцієнтами a , ,a має n дійсних
1 n 1 
n
коренів. Довести, що  P 2  3 .
3.23 Довести, що для будь-якого цілого невід’ємного n
2 n 1 n  2 2
многочлен  x  1  x ділиться на многочлен x  x  1.
3.24 Знайти остачу від ділення  xf 5 на  xf , якщо

   xxf 4  x 3  x 2  x  1.
3.25 Довести, що многочлен четвертого степеня
x 4  2x 2  2 x 2 неможливо розкласти в добуток двох

16