Page 15 - 4371

3.6 Довести, що ні для одного многочлена  xP з цілими
коефіцієнтами не можуть виконуватись рівності
P   57  , P   915  .
3.7 Чи існує многочлен з цілими коефіцієнтами  xP та-
кий, що  20  PP   201212  , а 2012P  дорівнює 20 або 12?
3.8 Довести, що многочлен  xP з натуральними коефі-
цієнтами не може при всіх натуральних значеннях x
приймати значення, рівні степеням двійки з натуральним
показником, якщо тільки   constxP  .
3.9 Нехай  xP – многочлен з цілими коефіцієнтами,
який приймає значення 5 при п’яти цілих значеннях x .
Довести, що  xP не має цілих коренів.
3.10 Нехай   xxP  n  a x n1  .. .  a x  a – много-
1 n1 n
член з цілими коефіцієнтами. Відомо, що  0P і  5P –
непарні числа. Довести, що  xP не може мати раціональ-
них коренів.
3.11 Многочлен з цілими коефіцієнтами  xP приймає
значення 2 при чотирьох різних цілих значеннях x . Довес-
ти, що ні при яких цілих значеннях x цей многочлен не
приймає значень 1, 3, 5, 7 і 9.
3.12 Довести, що якщо многочлен сьомого степеня з ці-
лими коефіцієнтами  xP при 7 цілих значеннях x при-
ймає значення +1 і -1, то його неможливо представити у
виді добутку двох многочленів з цілими коефіцієнтами.
3.13 Довести, що не існує такого многочлена з цілими
коефіцієнтами  xP , відмінного від константи, що всі чис-
ла       .,2,1,0P P P . . є простими.
3.14 Знайти всі многочлени  xP , які задовольняють
умову   00 P і тотожність
1
P   x  P x   1  P  x 1  .
2

15