Page 147 - 4371

5.12 Введемо на площині декартову систему координат
таким чином, щоб рівняння еліпса набуло канонічного ви-
ду:
x 2 y 2
  1.
a 2 b 2
Крім того, вважатимемо, що a  (див. рисунок. 5.6).
b
В рівнянні еліпса перейдемо до полярних координат
, r  ; тоді x  r cos  , y  r sin  і рівняння еліпса набуває
виду
2
2
r 2 cos  r 2 sin  2 a 2 b 2
  1, звідки r  .
a 2 b 2 b 2 cos 2   a 2 sin 2 

Якщо сюди підставити     , одержимо
1
2
a 2 b 2
2
r  і за теоремою Піфагора маємо:
1
b 2 sin 2   a 2 cos 2 
 1 1 
AB 2  r 2 r 1 2  ba 2 2   2 2 2 2  2 2 2 2   
 b cos  a sin  b sin  a cos  
a 2 b 2 a 2  b 2 
 
a 4  b 4 sin 2  cos 2   a 2 b 2 sin 4   cos 4  
a 2 b 2  ba 2 2 
 
 2 baa 4 2 2 b 4 sin 2 cos 2   ba 2 2 sin 4   sin2 2 cos 2  cos 4  
a 2 b 2 a 2  b 2 
 2 2 
2
2
2
2
a 2  b 2  sin  cos   a 2 b 2 sin   cos  
2
4 ba 2 2 a  b 2 
 2 .
2
a  b 2  sin 2 2  4 ba 2 2
Цей вираз приймає своє найменше значення коли
sin 2 2  1 і тоді

147