Page 142 - 4371


 2  n 2  
2
2
2
MA  R  r  Rr cos2    ,
n 1
 n 

 2  n 1  
2
2
2
MA  R  r  Rr cos2    .
n
 n 
Тоді
MA 2  MA 2   MA 2 
1 2 n

   2   2  n 1   
 n R 2  r 2  Rr2 cos  cos      cos    
 
  n   n  
що, з урахуванням результату задачі 4.8, приводить до рів-
ності
2
2
2
2
MA  MA   MA  n R  r 2  const .
1 2 n
5.3 Дана задача є частинним випадком задачі 5.1, якщо
точка M співпаде з точкою A , тому
1
2
2
2
2
A A  A A   A A  2nR .
1 2 1 3 1 n
5.4 Нехай n -кутник розташований так, як показано на
рисунку 5.3, тобто вісь OX проходить між вершинами A і
1
A , в противному випадку можна перенумерувати верши-
n
ни многокутника. Позначимо кут між радіусом OA і віссю
1
OX через  . Тоді

 2    2 n  2  
x  R cos , x  R cos  ,   , x  R cos  , 
1 2 n 1 
 n   n 

 2  n 1  
x  Rcos    . Додавши ці рівності, одержимо:
n
 n 

   2   2  n 1   
x  x   x   R cos  cos     cos     .
1 2 n  
  n   n  
Але, згідно з результатом задачі 4.8 а), сума косинусів в
дужках дорівнює нулю, отже
x  x   x  0 .
1 2 n
Аналогічно, використавши результат задачі 4.8 б), одер-
жуємо
142