Page 144 - 4371

  2  
A B 2  A B 2  A B 2   A B 2  R 2 sin 2   sin 2    
1 1 2 2 3 3 n n 
  n 

 4   2  2  n 1   
2
sin      sin     .

 n   n  
Але,


 1 
2 2  2 4  2  2 n  n
2
sin   sin     sin      sin    
 n   n   n  2
(див. задачу 4.10,б), отже
nR 2
2
2
2
2
A B  A B  A B   A B   const .
1 1 2 2 3 3 n n
2
2
2
2
5.6 Оскільки x  x   x – сума квадратів віддалей
1 2 n
2
2
2
від вершин многокутника до осі OY , а y  y   y –
1 2 n
сума квадратів віддалей від вершин многокутника до осі
OX , то твердження задачі є елементарним наслідком ре-
зультату, одержаного в задачі 5.5.
5.7 Аналогічно, як і при розв’язуванні задачі 5.2, одер-
жуємо, що в кожному з двох випадків шукана сума дорів-
нює Rn 2  r 2 , де R і r – радіуси кіл, n – кількість сторін
многокутника.
n
n
5.8 Розглянемо многочлен z  R . Позначимо його ко-
рені через z  R , z , z , , z ; як відомо, ці корені, будучи
0 1 2 n  1
зображені на комплексній площині, утворюють вершини
правильного n -кутника, вписаного в коло радіуса R з
центром в точці z 0. Нехай вершина A співпадає з точ-
1
кою z , вершина A – з точкою z , і т.д., вершина A – з
0 2 1 n
точкою z . Тоді
n  1
A A  A A   A A    zR   zR    zR  .
1 2 1 3 1 n 1 2 n  1
n
Але z  R z  z z  z  z  z  z  n R , тому
1 2 n1
z n  R n
  zz   zz    zz    z n 1   Rz n  2   R n 1 
1 2 n  1
z  R
144