Page 145 - 4371

при z  R , причому, в силу неперервності, ця рівність
справедлива і при z  R , отже
  zR   zR    zR   nR n 1  , тобто
1 2 n  1
A A  A A   A A  nR n  1 .
1 2 1 3 1 n
Вказаний добуток можна було б підрахувати і по-
іншому: очевидно
 2  n 1 
A A  2 Rsin , A A  2 Rsin , , A A  2 Rsin ,
1 2 1 3 1 n
n n n
тому
 2  n 1 
A A  A A   A A  2 n 1 R n 1 sin  sin   sin .
1 2 1 3 1 n
n n n
Прирівнявши два вирази для добутку A A  A A   A A і
1 2 1 3 1 n
скоротивши на R n 1  , одержуємо
 2  n  1  n
sin  sin   sin  .
n n n 2 n 1 
5.9 Використавши результат задачі 5.3, неважко вивести,
2 2
що шукана сума дорівнює n R .
5.10 Якщо d і d – довжини діагоналей трапеції,  –
1 2
1
кут між ними, то площа трапеції S  d 1 d 2 sin  . Але
2
2 2
1 1  d  d  d  d 
d d sin    1 2  sin   1 2  2 .
2 1 2 2  2  8
Оскільки площа в точності дорівнює 2, то в наведеній не-
рівності має місце рівність, звідки знаходимо

d  d  , 2 sin  , 1   90 . Висота трапеції, як неважко
1 2
бачити, є одночасно висотою в трикутнику, дві сторони
якого рівні d і d , а кут між ними рівний  . Маючи d ,
1 2 1
d і  , легко знаходимо, що висота дорівнює 2 .
2
5.11 Нехай  aB  , 0  C ,0,   b (див. рисунок 5.5). Оче-
видно, в шуканій точці A дотична до еліпса паралельна

145