Page 149 - 4371

x 2 y 2 x y 1  x 2 y 2  1

льки 0  0  1, то 0 0    0  0 2   , тоді
a 2 b 2 a b 2 a 2 b  2

ab
S   2  ab , причому в цих двох нерівностях рівність
2
x y
досягається при 0  0 . Таким чином, шукані точки
a b
 a b 
мають координати  ,  .
 2 2 
5.14 Доведемо, що точки площини, із яких еліпс видно
під прямим кутом, належать деякому колу, центр якого
співпадає з центром еліпса. Звідси випливає, що всі прямо-
кутники, описані навколо еліпса, будуть вписані в це коло,
а, отже їх діагоналі будуть рівними.
Спочатку виведемо умову, при якій пряма Ax  By  C  0
дотикається до еліпса. Підставивши із рівняння прямої
2
A C 2 2 2  A C 
y  x в рівняння еліпса, маємо b x  a  x   
B B  B B 
2
 a 2 b , звідси  Aa 2 2  b 2 B 2 x 2  2 ACxa 2  a 2 C 2  a 2 b 2 B 2  0.
Оскільки це рівняння повинно мати рівно один корінь, то йо-
го дискримінант D має дорівнювати нулю. Але
D
2
2
 a 4 A 2 C  a 2 A  b 2 B 2  Ca 2 2  a 2 b 2 B 2 , або
4
D 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
 a b B a A  b B  C . Звідси a A  b B  C –
4
шукана умова (зауважимо, що вона виконується і для вер-
тикальних дотичних до еліпса, тобто для прямих, у рівнян-
ні яких B  0).
Якщо дві дотичні до еліпса взаємно перпендикулярні, то їх
рівняння можна записати у виді: Ax  By  C  0 і
 Bx  Ay  C  0 , причому
1
2
2
2
2
2
2
a 2 A  b 2 B  C , a 2 B  b 2 A  C (5.2)
1
149