Page 148 - 4371

2
2
4 ba 2 2 a  b 2  4 ba 2 2 a  b 2  2ab
AB min  2  2  .
2
2
2
a  b 2   4 ba 2 2 a  b 2  a  b 2
Найбільше значення виразу досягається при sin 2  0 ,
отже
2
2
AB  a  b .
max
5.13 Виведемо спочатку рівняння дотичної до еліпса в
заданій точці x , y . Із рівняння еліпса, вважаючи, що
0 0
b bx
2
2
y  0 , одержуємо y  a  x . Тоді y   і

a a a  x 2
2
кутовий коефіцієнт дотичної до еліпса в точці з абсцисою
bx
x
x дорівнює    0 . Або, враховуючи, що із
y
0 0 2 2
a a  x
0
a b 2 x
2
2
x
рівняння еліпса a  x  y ,    0 . Тоді рів-
y
0 0 0 2
b a y
0
b 2 x
няння дотичної y  y   0 x  x , звідки, з урахуван-
0 2 0
a y
0
2
2
2
ням рівності b 2 x  a 2 y  a 2 b , легко одержуємо
0 0
x x y y
2
b 2 x x  a 2 y y  a 2 b і остаточно 0  0  1. Дане рів-
0 0 2 2
a b
няння одержане в припущенні, що точка дотику розташо-
вана над віссю абсцис, але неважко перевірити, що і для
точок, розташованих під віссю абсцис, рівняння дотичної
має такий же вид.
Із одержаного рівняння знаходимо, що відрізки, які від-
a 2 b 2
тинаються на координатних осях дотичною рівні і .
x y
0 0
1 a 2 b 2 ab a b
Тоді площа трикутника S     . Оскі-
2 x y 2 x y
0 0 0 0
148