Page 150 - 4371

Знайдемо точку перетину цих дотичних:
 Ax  By   C , AC  BC 1 BC  AC 1
  x  2 2 , y   2 2 .
  Bx  Ay   C 1 , A  B A  B
Тоді
A 2 C 2  2ACBC  B 2 C 2  B 2 C 2  2BCAC  A 2 C 2
x 2  y 2  1 1 2 1 1 
A 2  B 2 
2
2
2
C 2 A  B 2  C 2 A  B 2  C  C 2
 1 2  2 1 2 ,
2
A  B 2  A  B
що, з урахуванням (5.2), приводить до рівності
2
2
2
a 2 A  b 2 B  a 2 B  b 2 A 2
2
2
2
2
x  y   a  b  const ,
2
A  B 2
що і треба було довести.
5.15 Нехай точка M має координати x,  y ; опустимо із
неї перпендикуляри MK і ML на осі координат (див. ри-
AK
сунок 5.7). Оскільки   , то AK   OK  y  і, врахо-
OK

вуючи, що KM  а AM  a , за теоремою Піфагора
x
1  
2
 
маємо: x 2    y 2  a 
 . Тобто
1    
x 2 y 2
  1.
2 2
 a   a 
   
1     1    
Отже, лінія, яку описує точка M – еліпс.
5.16 Позначимо довжину сторони, яка містить зафіксо-
вані вершини через a , третю вершину позначимо через M
і введемо прямокутну систему координат як показано на
рисунку 5.8. Як видно із цього рисунка: y  xtg  ;
y  a  x  2tg  . Звідси

150