Page 141 - 4371

Позначимо через  кут MOA , де O – центр кола. Вра-
1
ховуючи, що центральний кут, який спирається на сторону
2 
правильногоn -кутника дорівнює , за теоремою коси-
n
нусів можемо записати:
2
2
2
MA  R  R  2R 2 cos  ,
1
 2  
2
2
2
2
MA  R  R  R cos2    ,
2
 n 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 2  n 2  
2
2
2
2
MA  R  R  R cos2    ,
n 1
 n 

 2  n 1  
2
2
2
2
MA  R  R  R cos2    .
n
 n 
Додавши почленно ці рівності, одержуємо:
MA 2  MA 2   MA 2 
1 2 n
  2    2  n 1   

 nR2 2  R2 2 cos   cos      cos     .


  n   n  
Але, як встановлено в задачі 4.8,

 2    2 n  1  
cos  cos     cos    0.
 n   n 
2
2
2
2
Тому MA  MA   MA  2 nR  const .
1 2 n
5.2 Нехай A A ... A правильний n -кутник; позначимо
1 2 n
через r і R радіуси вписаного і описаного кіл відповідно і
нехай M – довільна точка на вписаному колі (вважаємо,
що вона знаходиться між вершинами A і A , див. рисунок
1 n
5.2). Як і в попередній задачі, застосуємо теорему косину-
сів:
2
2
2
MA  R  r  2Rr cos  ,
1
 2  
2
2
2
MA  R  r  Rr cos2    ,
2
 n 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141