Page 139 - 4371

4.20 а), б). Із усіх дробів цих сум виділимо той, в знамен-
нику якого стоїть найвищий степінь двійки. Такий дріб мо-
же бути тільки один. Справді, якщо припустити, що таких
дробів два, то їх знаменники мають вид 2 k  p і 2 k q  , де
p і q – непарні числа. Якщо p менше з них, то p  2  q і

2 k  p  2   2 k q  . Отже, в розглядуваній сумі є дріб із зна-
k
менником 2   p  2 . Але тоді там буде також дріб, зна-
менник якого є середнім арифметичним знаменників 2 k  p
k
і 2   p  2 . Це середнє арифметичне дорівнює
k
k
2  p  2   p  2 2 k 2 p  2 k
  2   p  1 .
2 2
Враховуючи, що p непарне, ми одержали число, яке ді-
литься на 2 k  1 , суперечність.
Зведемо тепер всі доданки в цих сумах до спільного зна-
менника. У всі дроби, крім виділеного, число 2 ввійде до-
датковим множником, в той же час у виділеному дробі до-
датковим множником буде число непарне. Таким чином, у
одержаному дробі знаменник є, очевидно, числом парним,
а чисельник, який складається із суми деякої кількості па-
рних чисел і одного непарного, є числом непарним. А тому
весь дріб не може бути цілим числом.
в) Виберемо число k так щоб виконувалась умова
k
k
3  2 n 1  3 k  1 . Дріб із знаменником 3 буде єдиним
дробом в даній сумі, який містить в знаменнику трійку в
найвищому степені. Тому при зведенні суми до спільного
знаменника додаткові множники всіх дробів крім розгля-
нутого будуть ділитись на три, а додатковий множник цьо-
го дробу не буде ділитись на три. Отже, в сумі одержимо
дріб, знаменник якого ділиться на три, а чисельник не ді-
литься.
4.21 Скористаємось рівністю C l  C  l 1  C  l 1 . Врахо-
m m m  1
вуючи, що C 0  1, маємо:
n  1
139