Page 135 - 4371

n
1 2 n 1 1 n   1 x  nx n 1
 1 2x  3x  . . .  nx   , із якої при
2 2 1 x  2
n  1 n
1 
1 1  2 3 n  2 n 2 n  1
x  маємо:  1      , або
2 2  2 2 2 2 n  1  1
2 2
2
1 2 3 n 2 n 1  n 2
     .
2 2 2 2 3 2 n 2 n
4.15 Застосуємо метод математичної індукції. Введемо
1 1 1 1
позначення  nS      ,
1 2 3 4 5 6  n 12   n2
1 1 1 1
T  n      . При n  1 маємо
n 1 n 2 n 3 2 n
1
S  1   T  1 . Припустимо, що твердження справедливе
2
k
при n  , тобто   TkS   k . Тоді при  kn  1 одержимо
1 1 1 1
S  1k       
1 2 3 4 2k 1 2k 2k 1   12 k 
1
 S  k ,
2 k 1   2 k   1
1 1 1 1 1
T  1k        
k  2 k 3 2k 2k 1 2  1k 
1 1 1 1 1 1 1
        
k 1 k  2 k 3 2k 2k 1 2  1k  k 1
1 1 1
 T  k   T  k .
2 k 1  2 k   1 2 k 1   2 k   1
Як бачимо,  kS  1  T  k  1 ; твердження доведене.

4.16 Зауваживши, що при кожному n
1  1 nn   n n 1
a   
n 2 2
 1 nn   n n 1  1 nn   n  1n 
135