Page 125 - 4371

b
k
ня при x  і x  k  1, де k – ціле; тобто числа ak  і
a k 1  b цілі. Але тоді їх різниця ka 1  b  ak  b  a
теж ціле число. Тоді при x  k  2 маємо
P k  2   a k  2  b  a k 1  b  a , тобто  kP  2 – теж

ціле. Аналогічно доводимо, що  kP  3 ціле і т.д. Поклав-
ши x  k  1, одержуємо, що P  k 1   a  k 1  b

 ak  b  a є цілим числом. Аналогічно одержуємо, що
P  k  2 ,  kP  3 і т.д. є цілими числами.
Нехай твердження справедливе для всіх многочленів сте-
пеня меншого, ніж n і нехай  xP – многочлен степеня n ,
який приймає цілі значення при x  , k  ,1 k  ,2  , k  n ,
k
де k – ціле. Тоді многочлен   PxP  x  1 , степінь якого не
вище n 1 приймає цілі значення при n послідовних цілих
значеннях x : k  ,1 k  ,2 , . . . k  n. За припущенням індук-
ції він приймає ціле значення при будь-якому цілому x .
При  kx  n  1 одержуємо, що kP  n 1  P k   n є ці-

лим числом, що з урахуванням того, що kP   n є цілим,
приводить до висновку, що   nkP   1 теж є цілим. Анало-
гічно доводиться, що числа   nkP  2  , P k  n   3 і т.д. є
цілими. При x  маємо:   PkP  k  1 – ціле; звідси зразу
k
випливає (враховуючи, що  kP ціле), що  kP  1 є ціле.
Точно так же доводимо, що  kP 2  , P k   3 і т.д. є цілими
числами.
3.43 Зауважимо, що сума коефіцієнтів многочлена  xP
sin 2012 x
дорівнює  1P . Тому в рівності P cos  x  пере-
sin 4 x
йдемо до границі при x 0. Одержимо:
sin 2012x 2012
P   lim1    503.
x  0 sin 4x 4

125