Page 121 - 4371

бути цілим числом, а значить, не може дорівнювати нулю,
бо нуль – число ціле.
p
Нехай x  , де p і q взаємно прості. Тоді
q

p n p n 1 p n 2 p
P   x  a 1  a 2  .. .  a n 1  a n 
q n q n 1 q n 2 q
p n  a p n 1 q  a p n 2 q 2  .. .  a pq n 1  a q n
 1 2 n 1 n 
q n
n
p  q  pa n 1  a p n 2 q  . . .  a pq n 2  a q n 1 
 1 2 n 1 n .
q n
n
p , як і p , взаємно просте з q ; отже,
p n  q  pa n  1  . . .  a q n  1  також взаємно просте з q , а
1 n
n
значить, і з q . Тому одержаний дріб є нескоротним і не
може дорівнювати цілому числу.
3.36 Оскільки даний многочлен має n додатних коренів
x , x , x , , то його степінь не менший n . Тому a  0 і за
1 2 n
теоремою Вієта маємо
x  x  . . .  x  1,
1 2 n
n
n 2 b
 1  x 1 x .. . . x i 1 x . . . . x  n ,
i 1
2
n
i 1 a
b
n
  x1 x . . . . x  ,
1 2 n
a
звідки b  0. Враховуючи нерівність між середнім ариф-
метичним і середнім геометричним, одержуємо умову
n 2
 1 n b a  1 1 1 
n 2   1    xx 1 2  .. .  x n     .. .   


  b1 n a  x 1 x 2 x n 
 1 1 1 
2
 n n x x . . . x  . . .   n ,
 n n
1 2 n  x x x 
 1 2 n 
121