Page 122 - 4371

яка виконується тільки у випадку, коли
1
x  x    x  .
1 2 n
n
3.37 Розкладемо даний многочлен на множники
P   ax  x  x x  x  x  x , де a 0 .
1 2 n
Тоді   PxP    Px   x   P  x , де через
1 2 n
P    kx  , 2 , 1  n ,  позначено многочлен степеня n 1  1,
k
який задовольняє тотожність x  x   xP  P  x . Зауважи-
k k
мо, що   0xP при k  , отже,    PxP    0x . Роз-
i
k i i i i
глянемо многочлен
P   x P   x P   x
F  x  1  1  2   n ,
P  x P  x P  x
1 2 n
степінь якого не перевищує числа n  1. Для кожного
i 1 , 2 ,  n , маємо рівності
n P  x P  x
F   x  j i 1  i i 1  0 ,
i  
 
 j P  x j P  x i
1
що означає, що многочлен  xF має n різних коренів. А,
значить,   0xF . Оскільки старший коефіцієнт кожного із
многочленів  xP дорівнює a , то коефіцієнт многочлена
k
F  x при x n 1  дорівнює
a a a
  .. .  ,
P   P   P  
x
x
x
1 2 n
але цей коефіцієнт дорівнює нулю. Звідси випливає твер-
дження задачі.
3.38 Позначимо x  cos   i sin  , тоді
0
x  cos   i sin  і многочлен  xQ представляється у виді
0
Q   xx   cos  i sin x  cos  i sin   x  x x  x .
0 0
n
За формулою Муавра маємо x 0 n  cos   isin    cos n  
n
n

 isin n  , x  cos  isin    cos n   isin n  , тому
0
122