Page 123 - 4371

P   x cos n   isin n  sin   cos   isin  sin n  
0
 sin  1n   cosn  sin   cos  sinn   sin  1n  
 sin 1 n   sin   n  1  0 .
Аналогічно можна довести, що   0xP . Таким чином, за
0
теоремою Безу многочлен  xP ділиться на кожний із дво-

членів x  x та x  x (які не рівні один одному, бо
0 0
sin  0), а значить і на їх добуток  xQ .
3.39 а) Значення  xP при всіх цілих x мають однакову
парність тоді і тільки тоді, коли кожне із чисел
2 2
P x 1  P   xx  1   p x 1  q  x  px   q  2 x 1  p
ділиться на 2, тобто коли p непарне. При цьому парність

всіх значень  xP однозначно визначається парністю числа
q  P   0 . Отже, всі значення  xP парні (непарні) при не-
парному p і парному (непарному) q .
3
б) Число  xQ 3  27 x  3 px  q при цілому x ділиться
на 3 тоді і тільки тоді, коли число q ділиться на 3. Далі,
кожне із значень
3 3 2
Q  x13   x 3 1   p  x13  q  27 x 27 x 9 x3 px1  p q
ділиться на 3 в тому і тільки в тому випадку (оскільки q
кратне 3), коли на 3 ділиться число   1  p , або просто
1  p . Таким чином, всі значення  xQ діляться на 3 при
умовах q 0 mod 3 , p  2 mod .
 3
3.40 Зауважимо, що існує тільки один многочлен, який
задовольняє умовам задачі, оскільки якщо б існував інший
многочлен  xQ  P  x з такими ж властивостями, то мно-

гочлен   QxP   x степеня не більше n , мав би не менше
ніж n  1 корінь. Оскільки для многочлена
1
R  x  x   0 x  1 x  n   x виконана умова
n 1 !

123