Page 124 - 4371

R   01  , то цей многочлен ділиться на x  1, тобто
R    Sx   xx  1 , де  xS – многочлен степеня n . Очевид-
k
но   kkR  і   kS при k  , 1 , 0  n , , то  xS задово-
k  1
льняє умовам задачі, а значить,  xP  S  x і
n  1
R  n  1 n  1  1
P  n  1   .
n  2 n  2
3.41 Нехай x , x ,..., x  корені многочлена (xP ) . Тоді
1 2 n
P (x )  A (x  x )(x  x )...(x  x ) , де A  const.
1 2 n
Тому
P (  x )  A (  xx )(  xx )...(  xx )  A (  xx )(  xx )...(  xx ) 
n
1
2
3
n
3

  A (  xx )(  xx )...(  xx . )
1 2 n  1
З умови задачі випливає, що многочлен P (x ) має n 1 різ-
них дійсних коренів x * , x * ,...,x * , що не збігаються з коре-
1 2 n 1 
нями рівняння   0xP і задовольняють рівнянню:
A (x *  x )(x *  x )...(x *  x )  A (x *  x )(x *  x )...(x *  x ) 
i 2 i 3 i n i 1 i 3 i n

  A (x *  x )(x *  x )...(x *  x )  . 0
i 1 i 2 i n
*
Оскільки x  x , i 1 , . . . , 2 , n, j  n , . . . , 2 , 1 , то це рівняння
i j
можна переписати у вигляді:
 1 1 1 

P      . . .    0 .
x
i     
 x i  x 1 x i  x 2 x i  x n 
Враховуючи, що (xP * )  0, матимемо:
i
n 1
 *  , 0 i  , . .. , 2 , 1 n  . 1
 j 1 x i  x j

n 1  n 1
Звідси  *  . 0
 i 1 j  1 x j  x i

3.42 Доведення проведемо індукцією по n . Нехай мно-
гочлен першого степеня   axxP   b приймає цілі значен-
124