Page 120 - 4371

n
дійсних коренів не має. Таким чином, парне і n ділить-
2
ся на 4.
Ми довели, що подільність n на 4 є необхідною умовою
того, що многочлен x n  4 розкладається в добуток двох
многочленів меншого степеня з цілими коефіцієнтами. Але
ця умова є і достатньою, оскільки у випадку
n  4 k , k  N , маємо

x n  4  x 2k  2x k  2 x 2k  2x k   2 .
3.33 Очевидно, многочлени мають вид
P  a x  a x  a x , P  b x  b x  b x . Тоді
1 1 1 2 2 3 3 2 1 1 2 2 3 3
P 2  P 2  a 2 x 2  a 2 x 2  a 2 x 2  2 aa x x  2 aa x x  2 aa x x 
1 2 1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 1 3 1 3 2 3 2 3
2
2
2
 b 2 x  b 2 x  b 2 x  2 bb x x  2 bb x x  2 bb x x .
1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 1 3 1 3 2 3 2 3
Повинні виконуватись рівності: a 2  b 2  , 1 a 2  b 2  , 1
1 1 2 2
a 2  b 2  1, a a  bb  , 0 a a  bb  , 0 a a  b b  0 .
3 3 1 2 1 2 1 3 1 3 2 3 2 3
Розглянемо  вектори площини з координатами:


q   , ba , q   , ba , q   , ba , тоді одержані ви-
1 1 1 2 2 2 3 3 3
ще рівності можна записати у векторному виді
        
q  q  q  , 1 q  q  q  q  q q  0, що означає,
1 2 3 1 2 1 3 2 3
що на площині є три попарно ортогональних ненульових
вектори, що є неможливим. Отже, вказана рівність немож-
лива.
3.34 Твердження задачі безпосередньо випливає із на-
ступних перетворень:
 1 x  x 2  x 3  .. .  x 99  x 100  1 x  x 2  x 3  .. .  x 99  x 100 
   1 x 2  x 4  .. .  x 100    1 xx 2  x 4  .. .  x 98 
   1 x 2  x 4  .. .  x 100    1 xx 2  x 4  .. .  x 98 
2 2 2 4 98 2
100
2
4
 1 x  x  . . .  x   x 1 x  x  . . .  x  .
3.35 Доведемо, що при будь-якому раціональному, але
не цілому значенні x значення многочлена  xP не може
120