Page 119 - 4371

P   a P   a 2 P  n   a n
P   Px    a  x   a  x   a   x   a .
! 1 ! 2 n!
(Залишковий член дорівнює нулю, оскільки P  n  1   0x ).
a
При x  написана рівність, очевидно, дає   0xP , що і
означає відсутність коренів, які перевищують a .
3.31 Многочлени
x
1 2
Q    Px  0     P    Py     dyy 1
2
0
1 x 2
та   xR     P    Py     dyy 1
2
0
монотонно зростають, оскільки
2
    xQ  P    Px    1 x 0 і
2
    xR  P    Px    1 x 0 .
x
При цьому   RxQ   x  P  0  P  dyy  P  x .
0
n
3.32 Нехай x  4  P    xQx , де  xP і  xQ – многоч-
лени з цілими коефіцієнтами степенів відповідно m і l
( m  , l  n ). Тоді всі корені многочленів  xP і  xQ , бу-
n
дучи коренями многочлена x n  4, мають модуль n 4 , а
оскільки добуток коренів кожного із многочленів  xP і
m l
n
Q  x – число раціональне (за теоремою Вієта), то 4 і 4 –
n
m l
раціональні числа. Враховуючи, що  1 і  1, маємо
n n
m l 1 n
  , отже m  l  і n – парне число. Якщо число
n n 2 2
n
непарне, то  xP і  xQ – многочлени непарного степе-
2
ня. Значить, кожен з них має хоча б один дійсний корінь,
але це неможливо, бо при парному n многочлен x n  4
119