Page 104 - 4371

Перший з двох одержаних визначників згідно з припущен-
ням індукції дорівнює
 1 1 
  x 1  ..  . x 1  1  .. .    .
1 1 n 1  
 x 1 1 x n 1 1 
 x 1  ..  . x 1   x 1  ..  . x 1  .. . 
1 n 1 2 n 1
 x  1  ..  . x   1 .
1 n  2
Другий визначник одержується з першого при x  1, отже
n 1 
  x  1 x  1  ..  . x   1 .
2 1 2 n  2
Тоді заданий визначник дорівнює
  x 1   x 1   x 1  ..  . x 1 x 1 
n 1 n 1 2 1 n 1 n
 1 1 
  1  .. .     1x 1  ... x n 2 1 x n 1 1  


 x 1 1 x n 1 1 
 1 1 1 
  1x  ..  . x 1 x 1  1  .. .    ,
1 n 1 n  
 x 1 1 x n 1 1 x n 1 
що і треба було довести.
2.37 Припустимо, що така матриця існує. Тоді, домно-
2
живши рівність B  A на матрицю B справа, а потім злі-
3
ва, одержуємо B  AB  BA, тобто AB  BA. Нехай
b 11 b 12 b 13  b 21 b 22 b 23  0 b 11 b 12 
     
B  b b 22 b 23  , тоді AB  b b 32 b 33  , BA  0 b 21 b 22 

 21
 31
 b b b   0 0 0   0 b b 
 31 32 33     31 32 
і ми одержуємо рівності: b  b  b  0 , b  b  b ,
21 31 32 11 22 33
b  b . Отже, всяка матриця, яка комутує з матрицею A ,
12 23
a b  c
 
має вид 0 a b . Але матриця B з необхідністю повин-


 
 0 0 a 
на бути виродженою, бо такою є матриця A , а тому a  0 .
Отже,

104