Page 109 - 4371

дставивши значення x  m в останню рівність, одержимо:
7  m  a m  b m  c m  d   mQ ,
a
що неможливо, бо цілі числа m  , m  b, m  c, m  d всі
різні, а 7 неможливо розкласти в добуток п’яти співмнож-
ників, із яких принаймні чотири різні.
3.4 Із умови випливає, що x 1, x 2 і x 3 є кореня-
ми многочлена   5xP , тому
P  x  5  x 1 x 2 x 3   xQ ,

де  xQ – многочлен з цілими коефіцієнтами. Якщо існує
ціле число x  таке, що   6cP , то з останньої рівності
c
одержуємо
1  c 1 c 2 c 3   cQ .
Але це неможливо, бо одиницю не можна подати у вигляді
добутку чотирьох цілих співмножників, принаймні три з
яких різні. Отже, не існує цілого значення x , про яке
йдеться в умові задачі.
n
3.5 Нехай   axP  x  a x n1   a x  a . Якщо m і
0 1 n1 n
k – два цілих числа однакової парності, то різниця
P   Pm   k парна. Дійсно, вираз
n
P   Pm    ak  m  k n  a m n1  k n1   a m   k
0 1 n1
ділиться на парне число m  . Зокрема, при q парному
k
різниця   PqP   0 парна. Але за умовою  0P непарне;
отже  qP теж непарне, а тому   0qP . Аналогічно при q
непарному різниця   PqP   1 парна; оскільки за умовою
P  1 непарне, то звідси, як і вище, випливає, що   0qP .
Отже  xP не може обертатись в нуль ні при якому цілому
x (як парному, так і непарному), тобто многочлен  xP не
має цілих коренів.
n
3.6 Нехай такий многочлен  xP  a x  a x n1  .. .  a
0 1 n
n
існує. Тоді  7  aP 7  a 7 n 1   . . .  a  5,
0 1 n
109