Page 106 - 4371

4 n 1 0 ... 0 0 ... 0 0
0 4 n 1 ... 0 0 ... 0 0
... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 ... 4 n 1 0 ... 0 0
 .
0 0 ... 3 n 1  2 n ... 0 0
... ... ... ... ... ... ... ...
0 4 n 1 ... 0 0 ...  2 n 0

4 n 0 ... 0 0 ... 0  2 n
Оскільки в одержаному визначнику всі елементи над голо-
вною діагоналлю – нулі, то він дорівнює добутку діагона-
льних елементів. Отже
n
n
n
   n 14    2  n     n21 n  n 14   .
2
2.39 Домножимо рівність A  A на A , одержимо:
3
3
3
2
A  A  A, тобто A  A; аналогічно B  B . Тоді
3 3 2 2 3
A  B  A 3 A B  3 AB  B  A3 AB 3 AB B  A B .
3 3 3
Отже, det A   B  det A   B , але det A  B  det A  B 
3
і ми приходимо до рівності det A  B   det A  B , що
можливо тільки у трьох випадках: коли det A   B дорів-
нює -1, 0, або 1.
2.40 Якщо б така матриця існувала, то домноживши да-
ну рівність на 3 і додавши до обидвох частин одиничну
матрицю, ми б одержали:
 2 15 9 
 
2
3A  E     6 4 6  .
 
 0 12  8 
Визначник матриці, що стоїть справа, дорівнює -152. Вра-
2 2
ховуючи це, маємо: det 3  EA   det 3  EA    152,
що неможливо.
2.41 Неважко здогадатись, що степені матриці A мають
вид:
106