Page 108 - 4371

10   1  n  1  n  10
b          a  c .
n   n n
3   2   5   3
Звідси випливає, що lim a  lim c  lim b  0, а врахову-
n   n n   n n   n
n
ючи, що діагональні елементи матриці A теж прямують
n
до нуля при n  , одержуємо: lim A  O , де O – нульо-
n 
ва матриця третього порядку.
3.1 Із умови задачі випливає, що   21 P , P   12  . Не-
хай частка від ділення  xP на  x 1  x  2 є  xQ і остача
ax  b , тобто
P   xx  1 x  2    axxQ   b.
Підставивши у цю рівність x 1, а потім x 2 , одержуємо
систему
  ba  2 ,

 2a  b  ,1
звідки a  , 1 b  3. Отже, шукана остача є  x  3 .
3.2 Нехай при такому діленні одержується частка  xQ і
остача ax  , тобто
b
81
9
3
x  x  x  x 27  x  x 243  Q  xx 2 1  ax  b.
Покладаючи в цій рівності x  1 і x   1, одержуємо:
6  a  b ,  6   a  b , звідки a  , 6 b  0. Отже, шукана
остача дорівнює x6 .
3.3 Нехай многочлен P  x дорівнює 7 при
x  a , x  b , x  , c x  d . Це означає, що рівняння
P   7 x 0 має чотири різних цілих корені a, b, c, d ,
тобто
P  x  7  x  a x  b x  c x  d   xQ ,
де  xQ – теж многочлен з цілими коефіцієнтами. Який,
зокрема, може дорівнювати 1. Припустимо, що многочлен
P  x приймає при цілому значенні x  m значення 14. Пі-

108