Page 15 - 4357

2.2 Приклад 2

Потрібно об'єкт, що описується рівняннями

 x  x 2 ,
1
 (2.12)
 x    2 x  2 , u
перевести з будь-якого початкового стану в стан ()xt  x () 0t 
1 k 2 k
за мінімальний час при обмеженні на управління
u  1. (2.13)

Постановка задачі відрізняється від прикладу 1 тільки тим,
що початковий стан об'єкту може бути будь-яким. Тому

визначити оптимальне управління у формі оптимальної програми
в даному випадку неможливо. Шукатимемо рішення у формі
оптимальної стратегії.

Згідно з теоремою про n інтервалів оптимальне управління
є кусково-постійною функцією і приймає максимальні по модулю
значення на всіх інтервалах управління. Об'єкт управління має

другий порядок, корені характеристичного полінома системи
   1, 0  дійсні, тому число інтервалів управління рівне двом.

Визначимо фазові траєкторії об'єкту при u  1.
Рішення системи (2.12) в даному випадку має вигляд:
x  C e  1, (2.14)
t 
1
2
t
x  1  x 2 ()d    C e  1 t  t C 2 , (2.15)

0
де CC  сталі інтегрування, які визначаються початковими
,
1 2
умовами:
C  x 2 (0) 1 , (2.16)
1
C  2 x 1 (0) C 1  x 1 (0) x 2 (0) 1 . (2.17)

З (2.14) знаходимо
 x  1
t  ln  2  . (2.18)
 C 1 

15