Page 16 - 4357

Величина  2 1 C , що стоїть під знаком логарифма,
x 
1
додатня (точніше, вона лежить в межах від 0 до 1). Отже, (2.18)
можна записати у вигляді

x  1
t  ln 2  ln x   ln C . (2.19)
1
C 1 2 1
Підставляючи (2.19) в (2.15), отримаємо

x  x  1ln x 2  1 ln C 1  C . (2.20)
2
2
1
Позначивши
k  1ln C  C  ln x (0) 1  x (0)  x (0), (2.21)
1 1 2 2 1 2
остаточно отримаємо:
x  k  1 x  2 ln x  2 1 . (2.22)
1
Провівши аналогічні обчислення для випадку u  1,

отримаємо
t 
x  C e  1, (2.23)
2
3
t
x  1  x 2 ()d    C e  3 t  t C 4 , (2.24)

0
де
C  x 2 (0) 1 , (2.25)
3
C  4 x 1 (0) C 3  x 1 (0) x 2 (0) 1 . (2.26)

І далі
x  x  1ln x 2  1 ln C 3  C . (2.27)
4
1
2
Позначивши
k  1 ln C 3  C  ln x 2 (0) 1  x 1 (0) x 2 (0), (2.28)
4
2
остаточно отримаємо:
x  1 k  2 x  2 ln x  2 1 . (2.29)

На рис. 2.3 показані фазові траєкторії об'єкту при u  1,
побудовані для k  1; 0,5;0 , і при u   1, побудовані для
1
k  0;0,5;1.
2
З рисунку видно, що при u  1 x  , x  1, при u   1
1
2
x  , x   1. Це слідує безпосередньо з (2.14), (2.15) і
1
2
(2.23), (2.24).

16