Page 10 - 4357

Доведемо наступне твердження: вираз (1.19) може
обертатись в нуль не більше ніж
(  1 1)(  2 1) ... (    r  1)(r  1)  n  1 раз.

У випадку, якщо r  1, твердження справедливе, оскільки


функція  ()te обертається в нуль в точках, в яких обертається
t
1
1
в нуль многочлен  1 ()t , і, отже, має не більше   1 нулів, а крім
1
того, в даному випадку n  1 .
Припустимо, що твердження справедливе, коли число
доданків в (1.19) менше r. Покажемо, що воно справедливе і при

r доданків. Це дозволить нам, виходячи із справедливості
твердження при r  1, довести його справедливість для випадку
r  2 і далі для будь-якого r.

Припустимо, що при r доданків наше твердження невірне і
функція (1.19) має, принаймні (  1) (  1) ... (     1) r
1 2 r
нулів. Помножимо (1.19) на e   r t , що не змінить її нулів. У
результаті отримаємо функцію
 

 1 ()te   r  1 t   2 ()te  2  r t  ...   r 1 ( )te  r 1   r t   r ( )t . (1.20)
Продиференціювавши (1.20)  раз, отримаємо
r


()e
gt     r  1 t  g 2 ()t e  2   r t  ... g r 1 ( )t e  r 1   r t , (1.21)
1
де gt  многочлени, що мають той же степінь, що і
()

многочлени  ()t .

Оскільки між двома нулями функції лежить, принаймні,
один нуль її похідної, то при кожному диференціюванні може

«втрачатися» не більш за один нуль, тобто функція (1.21) має не
менше
(  1 1) (  2 1) ... (    r  1) r    r 


 ( 1 1) (   2  1) ... (   r 1  1) r  1
нулів. Але функція (1.21) має r  1 доданків, числа (   ) 
i
r
різні. За раніше зробленим припущенням, для неї справедливе
наше твердження і вона повинна мати не більше ніж
(  1 1) (  2 1) ... (    r 1  1) r  2 нулів. Отримане протиріччя

доводить, що якщо наше твердження справедливе для r  1

доданків, то воно справедливе і для r доданків. Далі: оскільки

10