Page 64 - 4328

cos z
  ctg z 1 4 z  1
Res  f    Res f  0   
 4  4 ( z  ) z   4 (sin z ) 
4
z  0
ctgz  1 1 
 dz  2 i    .
z 1 4z   4  

5.4 Застосування лишків до обчислення визначених та
невласних інтегралів

Інтеграли вигляду
2
 R cos x , sin x  ,dx (5.8)
0
,
x
де R – раціональна функція від cos та sin x скінченна всередині
проміжку інтегрування.
2
dz z  1
ix
Покладемо e  , z тоді dx  і cos x  ,
iz 2z
2
z  1
sin x  .
2iz
Очевидно, що в цьому випадку z  , 1 бо 0  x  2 .
Тоді інтеграл (5.8) набуває вигляду
 F (z )dz ,
L
де L – коло одиничного радіуса з центром у початку координат.
Згідно з теоремою Коші про лишки
 F (z )dz  2 i ,
L
де  – сума лишків функції F (z ) відносно полюсів, що містяться
всередині кола .L

64