Page 69 - 4328

Підінтегральна функція є уявною частиною функції
xe i x
  x  , значення якої на дійсній осі співпадають зі
2
x  k 2
z
значеннями функції  zf  e i z  F  ez i z .
2
z  k 2
z
Функція  zF  аналітична на всій дійсній осі, має у
2
z  k 2
верхній півплощині простий полюс z  ik і lim F   0z . Тому,
0
z  
скориставшись формулою (5.11), отримуємо
 xe i x  ze i z 
 2 2 dx  2 iRes f   ik 2 i lim   2 2   ikz  


  x  k z ik  z  k 
ze i z 1   k
 2 i lim  2 i e .
z ik z  ik 2
Враховуючи, що e i x  cos x  i sin , x маємо
 
x cos x x sin x   k
 2 2 dx i   2 2 dx  i e .
  x  k   x  k
Звідси, прирівнюючи уявні частини, маємо
 x sin x
 2 2 dx  e    k .
  x  k
Звідси отримуємо значення шуканого інтеграла
 
x sin x 1 x sin x 
I   2 2 dx   2 2 dx  e   k .
0 x  k 2   x  k 2

69