Page 68 - 4328

Приклад 5.6

dx
Обчислити інтеграл  2 2 .
  x   9
Розв’язок.
1
Введемо допоміжну функцію   zf 2 . Вона неперервна
z 2   9
на всій дійсній осі; має один полюс другого порядку z  , 3i що
0
міститься у верхній півплощині.
Тому, скориставшись формулою (5.10), маємо

dx
 2 2  2 i Res f  ,3i
  x   9
де
d  1 2  d  1 
Res 3 ( f ) i  lim    3iz    lim   
z 3i dz  (z 2  )9 2   z 3i dz  (z 2  )3i 2 



 2  2 2
 lim     .
2
3
6i
z 3i  (z  3i ) 3    3 6 i
 
Отже,
 dx 2 
 2 2  2i 3  .
  x   9 6 i 54
Приклад 5.7

x sin x
Обчислити інтеграл  2 2 dx ,   , 0 k  . 0
0 x  k
Розв’язок.
Оскільки підінтегральна функція парна, то
 x sin x 1  x sin x
I   2 2 dx   2 2 dx .
0 x  k 2   x  k

x sin x
Розглядаємо  2 2 dx .
  x  k

68