Page 63 - 4328

1

Обчислити інтеграл  1 z  z 2 e z 2 dz
z 2 1
Розв’язок.
Розкладемо підінтегральну функцію в ряд Лорана за степенями
( z ) 2
1  1
 1 z  z 2 e z 2    (57 z  )2  (z  )2 2   k 
k 0 (z  )2 k !
25 29 1
2
 ( z ) 2  ( 6 z  ) 2    ....
2 3 z  2
За формулою (5.2)
29
Res ) 2 ( f 
3
1 29
 1 z  z 2 e z  2 dz  2 i
z  2  1 3

Приклад 5.4
ctgz
Обчислити інтеграл  dz
z 1 4z 
Розв’язок.
ctg z cos z
Знаменник функції  дорівнює нулеві в
z 4   z 4 (  )  sin z

точках z  , z  k , k , 0  ; 1  ; 2 .... Всі ці точки прості полюси
4
  
 sin k  ,0 sin z   cos k   0 . Всередину кола z  1
 z  k 

потрапляють тільки полюси z та z 0 . За формулою (5.6):
4

63