Page 62 - 4328

Функція f(z) в колі |z|≤2 має ізольовані особливі точки z = 0 та
z = 1. Точка z = 0 є усувною особливою точкою f(z), тому що:

1 e z  0 1 (  e z )  e z
lim   lim  lim  1

z  0 z 2  z   0  z  0 (z 2  ) z z  0 2 z 1
Res f(0) = 0

Точка z = 1 – простий полюс, за формулою (5.5):
z
1 (  e )( z  )1
Res f )1(  lim 1  e.
z1 z( z  )1
За формулою (5.7):

z
1 e
 2 dz  2 i Res f ) 0 (  Res ) 1 ( f  2 i   1 ( ) e
z  2 z  z

Приклад 5.2
z  i
Обчислити інтеграл  2 dz
z 3 (z  )1 (z  )i
Розв’язок.
z  i – простий полюс; за формулою (5.5):
(  iz )( z ) i ( z ) i
Res f i ) (  lim  lim  1
z i ( z ) 1 2 ( z ) i z i ( z ) 1 2
z   1 – полюс другого порядку, за формулою (5.4):


 (  iz )( z ) 1 2   z  i  2i
Res f ( ) 1  lim    lim     lim   1
z   1  ( z ) 1 2 ( z ) i  z   1  iz  z   1 ( z ) i 2
 

За формулою (5.7):
z  i
 2 dz  2 i Res f i ) (  Res f ( ) 1  2  i 1 ( ) 1  0
z  3 ( z ) 1 ( z ) i
Приклад 5.3

62