Page 67 - 4328

dz
 i  2 2 .
z  1 pz  p   1  pz

Знайдемо полюси підінтегральної функції.
p 2 z  p 2   1  pz  , 0

2 2 2 2
p  1  p   1  4p
z  ,
2p
2
p  1  p  2  1
z  ,
2p
1
z  , p z  .
1 1
p
Оскільки за умовою 0  p  , 1 то в крузі z  1 міститься тільки
один полюс (простий) z  . p Обчислимо лишок функції в цій точці.
z  p z  p
Res f ( p)  lim  lim 
z  p pz 2  p( 2  z)1  p z  p  1 
p   pz  z  

 p 
1 1 1
   .
p 1 p 2  1
p 
p
За теоремою Коші про лишки
dz 2 i
 2 2  2 i Res f   p 2 .
z  1 pz  p   1  pz p  1
Отже, маємо
2  dx dz
I   2  i  2 2 
0 1  2p cos x  p z 1 pz  p 1   pz
2 i 2
 i  .
2
p  1 1 p 2

67