Page 61 - 4328

5.2 Лишок у кінцевому полюсі

Якщо z – полюс m-го порядку
0
1 d m 1 m
Res f (z )  lim   z  z  f (z  ) (5.4)
0 m 1 0
(m  1 )! z z 0 dz

Якщо z – простий полюс:
0

Res f (z )  lim ((z  z ) f (z )) . (5.5)
0 0
z 0 z

 (z )
Якщо функція f (z )  , (z 0 )  , 0 (z 0 )   , g (z 0 )  0 ,
g (z )
g ( ' z 0 )  0, тобто z = z 0 – простий полюс для f(z), тоді
 (z )
Res f (z )  0 . (5.6)
0
g (z )
0

5.3 Застосування лишків до обчислення інтегралів

При застосуванні лишків до обчислення інтегралів,
використовують основну теорему про лишки:
нехай функція f(z) є аналітичною на межі Г області G і в самій області
G, крім скінченого числа ізольованих точок z 1, z 2, ..., z n, тоді:
n
 f ( z) dz  2 i  Re s( z ) (5.7)
k
Г k 1

Приклад 5.1
1  e z
Обчислити інтеграл  2 dz
z 2 z  z
Розв’язок.

61