Page 57 - 4328

Якщо аналітична в своєму нулеві a ( a  ) функція (zf ) не
дорівнює тотожно нулеві в околі точки a , то розвинення цієї функції
у ряд Тейлора в околі точки a має вигляд

m
f (z )  c (  az )  c ( z ) a m  1  ..., (4.9)
m m  1

де c m  0 ( m  1). Номер m молодшого, відмінного від нуля
коефіцієнта цього розвинення має назву порядку нуля a (або
кратності).
Якщо m  1, то точка a називається простим нулем.

f (k ) (a ) ) 0 (
Із формули c k  ! k  k , 2 , 1 , 0 ...; f  f ! 0 ;   1 випливає:
якщо a є нулем порядку m функції (zf ) , то

f (a )  f (  a )  ... f (m ) 1  (a )  ; 0 f (m ) (a )  0 . (4.10)

Тобто порядок нуля є порядок найменшої похідної, відмінної
від нуля.
Для того, щоб точка a була нулем порядку m аналітичної
функції, необхідно і достатньо, щоб цю функцію можна було в
деякому околі цієї точки подати у вигляді:

m
f (z )  (z  ) a  (z ), (4.11)

де (z ) – аналітична в точці a і ( a )  0,  )(a   .
Якщо точка a є нулем порядку m функції (zf ) , то для функції
p
g (z )   (zf  ) ( p ) 1 ця точка є нулем порядку pm .

4.6 Ізольовані особливі точки

Точки, в яких функція не є аналітичною, називають особливими
точками, а точки, в яких аналітична – правильними.

57