Page 53 - 4328

Функція (zf ) має дві особливі точки: z   3 та z  1. Звідси
1 2
маємо 3 області з центром в точці z  0 , у кожній з яких f (z )
0
аналітична:
1) круг z  1
2) кільце 1 z  3

3)  z3   – зовнішність круга z  3.
Знайдемо ряди Лорана для функції (zf ) в кожній з областей.
Представимо (zf ) у вигляді суми елементарних дробів:
1 1
f (z )   (1*)
z  3 z  1

1) Розвинення в області z  1

Застосуємо відоме розвинення
1 2 3 n
 1 z  z  z  ... z  ..., z  1
1 z
1 2 3 n
  1 z  z  z  ... z  ..., z  1 (2*)
z  1
1 1 1  z z 2 z 3  z
  1      ... ...,  , 1 z  3 (3*)
z  3   z 3  3 9 27  3
3 1     
 3 
Підставимо (2*) та (3*) в (1*) та отримаємо ряд:
1 z z 2 z 3 2 10 26 82
f (z )      ... 1z z 2 z 3  .....   z  z 2  z 3  ...
3 9 27 81 3 9 27 81
Область збіжності ряду z  1, тобто це область, де одночасно
збігаються обидва ряди (2*) і (3*). Це розвинення є рядом Тейлора
функції (zf ) .
2) Розвинення в кільці 1 z  3

53