Page 52 - 4328

4.4 Ряд Лорана

ТЕОРЕМА. Всяка функція f (z ) аналітична в кільці

r  z  z  R (не виключаючи випадки r 0 та R   ) може бути в
0
цьому кільці єдиним чином розвинена в ряд Лорана:

 1 
n n n
f (z )  c   zz   c   zz   c   zz  . (4.7)
 n 0  n 0  n 0
n   n   n 0

1 n  c
c
При цьому ряд  n   zz 0    n n називається
n   n 1   zz 0 
 n
c
головною частиною ряду Лорана, а ряд  n   zz 0  – правильною
n 0
частиною.
Коефіцієнти c знаходяться за формулами:
n

1 f (z )dz
c   ( n , 0  , 1  2 ...), (4.8)
n n  1
2 i (  zz )
L 0

де L – довільне коло з центром в точці z  z , яке належить даному
0
кільцю.
На практиці при знаходженні коефіцієнтів c намагаються
n
уникати застосування останніх формул, тому що вони призводять до
громіздких обчислень. Якщо це можливо, використовують відомі
розвинення елементарних функцій.

Приклад 4.4
Знайти різні розвинення в ряд Лорана функції
2 z 2
f (z )  за степенями z .
z 2  2 z 3

Розв’язок

52