Page 55 - 4328

Приклад 4.5
Розкласти в ряд Лорана в кільці 0  | z | 1  3 функцію
1
f (z )  .
( z ) 1 2 ( z ) 2

Розв’язок
1 спосіб
Функція (zf ) є аналітичною в кільці 0  | z | 1  3 . Коефіцієнти
знайдемо за формулами:
1 f ( z) dz 1 dz
C     ,
n n 1 n 3
2 i z (  )1 2 i z (  )1 z (  )2
L L
де L – будь-яке коло з центром в точці z   1, яке лежить в
0
кільці 0  | z | 1  3 .
Якщо n  3  0 , то підінтегральна функція
1 ( z ) 1 | n | 3
 є аналітичною всередині кола L, не
( z ) 1 n  3 ( z ) 2 z  2
виключаючи точки z   1. Тому за теоремою Коші
0
dz
 n  3  0 . Звідси маємо C n  0 для n  , 3  , 4  , 5 ....
L ( z ) 1 ( z ) 2
Якщо n  3  0 , то за формулою для похідної будь-якого
порядка від аналітичної функції отримаємо:
1
dz
1 ( z ) 2 1 d n  2  1 
C      
n n  3 n  2
2 i ( z ) 1 ( n 2 )! dz  z 2 
L z   1
1 ( ) 1 n  2 ( n 2 )!  1  n  3 1
      
( n 2 )! ( z ) 2 n  3  3  3 n  3
z   1
1
Таким чином, для n  , 2  , 2 , 1 , 0 , 1 ... C  
n n  3
3
Ряд Лорана даної функції в кільці 0  | z | 1  3 має вигляд:

55