Page 54 - 4328

Ряд (3*) в цьому кільці збігається, а ряд (2*) – розбігається.
1
Тому знайдемо інший розклад для функції , який буде збіжним в
z  1
даному кільці.
1 1 1  1 1 1  1 1 1
  1      ...     .....,

z  1  1  z  z z 2 z 3  z z 2 z 3
z 1    (4*)
 z 
1
 , 1 z  1
z
Підставимо (3*) та (4*) в (1*) та отримаємо необхідний ряд
2 3
1 z z z 1 1 1
f (z )     ...   ..... 
3 9 27 81 z z 2 z 3
n
1 1 1 1 z z 2 z 3  1 1  (  )1 z n
....        ...    
z 3 z 2 z 3 9 27 81 z n 3 3 n
n 1 n 0
Ряди (3*) і (4*) однозначно збігаються в області 1 z  3. Це і є
область збіжності отриманого ряду.

3) Розвинення для z  3
Ряд (4*) збіжний в цій області, а ряд (3*) – розбіжний. Тому
1
знайдемо ряд для функції , який буде збіжним в області z  3.
z  3
1 1 1  3 9 27  3
  1      ...  , 1 z  3 (5*)
z  3  3  z  z z 2 z 3  z
z 1   
 z 
Підставимо (4*) і (5*) в (1*):
1  1 1 1  1  3 9 27  2 2 10 26
f z ) (       ....       ...      ...

 z z 2 z 3 z 4   z z 2 z 3 z 4  z z 2 z 3 z 4
Цей ряд збіжний для z  3.

54