Page 50 - 4328

1 2 3 n  n
6)  1 z  z  z  ... z  ...  z z  1
1 z n  0
z 2 z 3 n  1 z n  n  1 z n
7) ln( 1 z )  z    ... ( ) 1  ...  ( ) 1 z  1
2 3 n n  1 n

Останнє розвинення – це ряд Тейлора для головного значення
логарифма. Для інших значень багатозначної функції Ln  ) z ряд
1 (
Тейлора матиме вигляд:
z 2 z 3
Ln 1 (  z )  z    ... 2 in , n   , 1  , 2 ...
2 3

Приклад 4.3
1
Розвинути в ряд Тейлора функцію f (z )  по степенях
5 z 1
z  3 .
Розв’язок.
1 спосіб. Знайдемо значення функції та її похідних в точці
z   3 :
1 1
f (z )  , f ( ) 3  
5 z 1 14
5 5
f (  z )  ,  f ( ) 3  
5 ( z  ) 1 2 14 2
5 2 2  5 2 2 
f (   z )  ,   f ( ) 3  
5 ( z  ) 1 3 14 3
5 3 ! 3  5 3 ! 3 
f (    z )   ,    f ( ) 3  
5 ( z  ) 1 4 14 4

Отримаємо ряд:
1   1  5 ( z ) 3  5 2 ( z ) 3  5 3 ( z ) 3  ... 5 n ( z ) 3  ...
3
n
2
5 z 1 14 14 2 14 3 14 4 14 n 1 

50