Page 51 - 4328

Відстань між точкою z   3 та точкою, в якій функція не
0
1 1 14
аналітична z   дорівнює R  z  z  3  . Тому область
1 1 0
5 5 5
14
збіжності ряда z 3  .
5

2 спосіб.
Застосуємо відоме розвинення
1 2 3 n  n
 1 z  z  z  ... z  ...  z z  1.
1 z n  0

Для цього перетворимо функцію таким чином:
1 1 1 1
  
5z 1 ( 5 z  3  )3 1 ( 5 z  )3 14  ( 5 z   ) 3
14  1 
 14 
1 ( 5 z  ) 3
В розвиненні необхідно замінити z на :
1  z 14
1 1  ( 5 z ) 3 5 2 ( z ) 3 2 5 n ( z ) 3 n 

    1     ....  ... 

5 z 1 14  14 14 2 14 n 

1 5 5 2 2 5 n n
    z  3   z  3  ...  z  3  ...
14 14 2 14 3 14 n  1
1
Ряд Тейлора для функції збіжний при z  1, тому
1  z
( 5 z ) 3 14
отриманий ряд буде збіжним при  1, тобто при z 3  .
14 5

51