Page 49 - 4328

ТЕОРЕМА. Всяка однозначна та аналітична функція f (z ) в

колі z  a  R може бути єдиним чином представлена у виді ряду
Тейлора (4.5) в цьому колі.

Коефіцієнти c ряду Тейлора обчислюються за наступними
n
формулами, якщо функція аналітична, то по формулі Коші похідну
цієї функції в точці a можна обчислити за допомогою інтегралу:
1 f (z )dz f (n ) (a )
C n  2i  n  1  ! n , ( n 2 , 1 , 0 ...) (4.6)
L ( z ) a
де L – коло з центром в точці z  , що цілком міститься в околі точки
a
a , в якому функція f(z) аналітична.
Центр круга, в якому ряд Тейлора збігається, знаходиться в
точці z  .
a
Радіус збіжності ряду R дорівнює відстані від точки a до
найближчої до неї особливої точки (тобто до точки, в якій функція не
аналітична). Таким чином, область збіжності ряду: z  a  R .
Ряди Тейлора для елементарних функцій мають той самий
вигляд, що і для функцій дійсного аргумента. Запишемо деякі з них та
вкажемо область їх збіжності:
2 3 n  n
z z z z z
1) e  1  z   ...  ...   z  
! 2 ! 3 n! n 0 n!
2 4 2 n  2 n
z z n z n z
2) cos z 1   ...  (  )1 ...   (  )1 z  
! 2 ! 4 2 ( n)! n 0 2 ( n)!
3 5 2 n 1  2 n 1
z z n z n z
3) sin z  z   ... (  )1 ...   (  )1 z  
! 3 ! 5 n 2 (  )!1 n 0 n 2 (  )!1
 (  ) 1  (  1 )(  ) 2

4) 1(  z )  1 z  z 2  z 3  ...
! 2 ! 3
 (  1 )(  2 )...(  n  ) 1
... z n  ... z  1
! n
1 
n
n
5)  1 z  z 2  ... ( ) 1 z n  ...  ( ) 1 z n z  1
1 z n  0

49