Page 46 - 4328

Тому для дослідження збіжності даного ряду, треба з’ясувати
 cosn  sin n
збіжність рядів  2 та  2 . Кожний з них збігається
n 1 n n 1  n
абсолютно за ознакою порівняння. Порівнюємо зазначені ряди з
 1
рядом  2 , який збіжний як узагальнений гармонічний ряд при
n 1  n
p  2  . 1 Звідси даний ряд абсолютно збіжний.
 cosin
б)  n ..
n 1 2
Перетворимо заданий ряд
 cosin  chn  e n  e n
 n   n   n 1  .
n 1  2 n 1  2 n 1  2
Цей ряд розбіжний, оскільки не виконується необхідна ознака
збіжності
e n  e n 1   e  n 1 

lim  lim      . 
n   2 n 1  2 n     2   2e n 
 

4.2 Степеневі ряди
Ряд вигляду
2
c 0  c 1 (  az )  c 2 (  az )  ...
де c , , c , c ,  – комплексні сталі, а z – комплексна
0 1 n
змінна, називається степеневим рядом.
ТЕОРЕМА. Якщо степеневий ряд збіжний при деякому
значенні z  z , то він збігається абсолютно для всіх ,z для яких
0
z  z . Якщо ж ряд розбіжний при z  z , то він розбіжний при
0 0
будь-якому ,z для якого z  z .
0
Область збіжності ряду – круг з центром на початку
координат. Радіус збіжності R визначається за формулою

46