Page 28 - 4328

частина v (x , ) y (це означає, що функції u (x , ) y та v (x , ) y
гармонічні), то цю функцію можна відновити.
Процес відновлення функції f (z ) можна виконати трьома
способами.
1. Використовуються формули
 z  z 0 z  0 z 
f (z )  2u ,   f  ,z (2.28)
 2 2i  0
 
 z  z 0 z  0 z 
f (z )  2iv ,   f  .z (2.29)
  0
 2 2i 
Формули (2.28), (2.29) використовуються для відновлення
функції за відомою дійсною частиною або відомою уявною частиною
відповідно.
2. Використовуються безпосередньо умови Коші-Рімана (2.27).
3. Використовуються формули для знаходження дійсної та
уявної частини відповідно, пов’язані з обчисленням криволінійних
інтегралів другого роду
 , yx 
v  v 
u (x , ) y   dx  dy , (2.30)
 0 yx , 0  y  x 
 , yx 
 u u 
v (x , ) y    dx  dy , (2.31)
 0 yx , 0  y  x 
де інтегрування здійснюється вздовж будь-якої кусково гладкої
кривої, що цілком міститься в області D і з’єднує фіксовану точку
( x , y ) D з довільною точкою ( yx , ) . D
0 0

Приклад 2.7
Відновити аналітичну в околі точки z функцію f (z ) за
0
відомою її дійсною частиною u (x , ) y та значенням f (z ), якщо
0
2
2
( u , x ) y  x  y  2x , z  ( if ) 2 i . 1
, i
0
Розв’язок

28