Page 26 - 4328

Якщо функція   uzf   iv аналітична в деякій області D, то
її дійсна частина (xu , ) y і уявна частина (v x , ) y є гармонічними
функціями.
Але ж, якщо u (x , ) y і v (x , ) y – дві будь-які гармонічні
1 1
функції, то функція   uzf  ( x, y)  iv  yx,  зовсім не повинна бути
1 1 1
аналітичною функцією; для аналітичності   zf треба, щоб функції
1
u (x , ) y і v (x , ) y додатково задовольняли умовам Коші-Рімана.
1 1
Дві гармонічні функції, що задовольняють умови Коші-Рімана,
називаються спряженою парою гармонічних функцій (порядок
функцій у парі має істотне значення).

Приклад 2.6
Показати, що задані функції є гармонічними.
x
x
а) ( yxu , )  2e cos ; y б) ( yxu , )  ;
2
x  y 2
y
в) ( yxu , )  arctg .
x
Розв’язок
а) ( yxu , )  2e x cos . y
u  x  2 u x
 2e cos , y  2e cos ; y
x  x  2
u  x  2 u x
  2e sin , y   2e cos . y
y  y  2
2
2
 u  u
u    2e x cos y 2e x cos y . 0
x 2 y 2
Згідно з означенням, ( yxu , ) – гармонічна функція.
x
б) (xu , ) y  .
2
x  y 2
2
2
2
u  x  y  2x 2 y  x 2
  ,
x  x  y 2  2 x  y 2  2
2
2

26