Page 25 - 4328

Функція w  f (z ) однозначна та диференційовна в кожній

точці області D має назву аналітичної (або регулярної) в області
D .
Функція w  f (z ) має назву аналітичної в скінченній точці
z , якщо вона диференційовна в самій точці z та її околі.
Визначення диференційовності та аналітичності функції в
області співпадають. Визначення аналітичності функції в точці
строгіше, оскільки вимагає диференційовності в точці і ще в її околі.
Для всякої аналітичної функції виконуються наступні рівності:
u  v u   u v u  v v
f ( z ) i   i   i   i 
x  x  x  y  y  y  y  x 

Приклад 2.5
Чи буде функція w  z  x  iy аналітичною?
Розв’язок
Тут (xu , ) y  , x (v x, y )  y – всюди диференційовні функції.
Знайдемо
u u v v
 , 1  , 0  , 0  , 1
x y x y
u  v 
тобто  (перша з умов Коші-Рімана не виконується).
x  y 
Отже, w  z  x  iy ніде не диференційовна, а звідси і не
аналітична.

Гармонічні функції
Означення. Функція   yx,  називається гармонічною в
області D, якщо вона має в цій області неперервні частинні похідні до
другого порядку включно і задовольняє в цій області рівнянню
Лапласа
2
2
     2  2
  , 0 або   , 0 де    .
x 2 y 2 x  2 y  2

25