Page 23 - 4328

cos z sin z cos z sin  z
 lim  lim cos z sin z   . 2
 cos z sin z 
z  z 
4 4
2z
e  1  0 2e 2z 2e  рi 2  1
в) lim     lim     . 2i
z
 e  i  e z  р i i 
z  i  0  z  i 2
2 2 e
Тут використано правило Лопіталя.

Приклад 2.4
Дослідити на неперервність функції:
z 2  3 z 1
а) w  z 2 Re z  i Im  ;z 2 б) w  .
z  2 i 3
Розв’язок
а) Виділимо дійсну і уявну частини функції :w
2 2
w    iyx  Re   iyx  Imi   iyx  
 x 2  2ixy  y 2   Imix x 2  2ixy  y 2 
 x x 2  y 2  2 ix 2 y  2ixy  x x 2  y 2  i 2  xy  x . 1

Звідси випливає, що  , yxu  xx 2  y 2 ,  , yxv  2 xy  x . 1
.
Функції  , yxu , і  yxv ,  неперервні на площині xOy Отже, дана
функція w також неперервна на всій комплексній площині Z.
z 2  3 z 1
б) Функція w  неперервна на всій комплексній
z  2 i 3

площині Z, крім точок кола z  2 i , 3 в яких знаменник z  2 i 3
перетворюється в нуль.

2.5 Диференціювання функцій комплексної змінної
Аналітичні функції
Розглянемо функцію w  ( z ) u  iv , яка однозначна та
f
визначена в деякій скінченій точці z та її околі. Дамо приріст z ,

23