Page 29 - 4328

Перевіримо, що задана функція є дійсною частиною аналітичної
функції f (z ), тобто, що функція ( yxu , ) – гармонічна. Знаходимо
похідні
2
u  u
 2 x , 2  2
2
2
x x 2  u  u
   2  2  , 0
2
u  u x 2 y 2
  2 , y   2
y y 2
тобто функція ( yxu , ) задовольняє рівняння Лапласа, отже, є
гармонічною.
Наведемо три способи знаходження функції (zf ).
Спосіб 1. Скористаємось формулою (2.28).
У нашому випадку
2
2
( u , x ) y  x  y  2x , z  z  , i     fzf i ) (  2 i . 1
, i
0 0 0
Тоді
  z  i 2  z  i 2 z  i 
f (z )  2        2   2i 1 
  2  2i 2i 
   
 1 2 1 2 
  2 z  2zi 1  z  2zi 1  z   i  2i 1 
 4 4 
1
2
2
 z  2zi  1 z  2 2zi  1  2z  2i  2i  1  z  2z .
2
2
Отже, (zf )  z  2z .
Спосіб 2. Скористаємось безпосередньо умовами Коші-Рімана
(2.27)
2
2
За умовою (u x , ) y  x  y  2x .
u u 
Знайдемо  2 x , 2   2 . y
x y 
u  v 
Згідно з першою умовою Коші-Рімана  2x  2  , тоді
x  y 
v   2x   2 dy  2xy  2y   .x

29